Ciencia

Apuntes sobre la sección áurea en el arte, la filosofía y la ciencia.

En el arte griego la perfección de las formas es el fruto del culto a la proporción numérica. Detrás de la belleza se halla siempre el número. Platón y los pitagóricos elevan este trasfondo cultural a pensamiento filosófico al afirmar que la realidad es, en último término, número.

El embrujo de las matemáticas comenzó cuando Pitágoras adivinó que existe una relación entre la longitud de las cuerdas de una lira y los acordes fundamentales de la música. “Por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa…) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1

Tanto entusiasmó a Pitágoras este descubrimiento que pensó que detrás de todo lo que existe hay una Ley Matemática, una Armonía. Esta mentalidad se extendió luego a la arquitectura, a la escultura, a la filosofía… Veamos algunos ejemplos.

Un ejemplo “simple” de proporción numérica aplicada al arte es el canon de Policleto, escultor griego del s. V a. C. En su estatua “Doríforo” (“el que lleva la lanza”) muestra que el cuerpo humano perfecto ha sido creado de tal manera que su altura es ocho veces la cabeza. Esta es una proporción conmensurable, es decir, que emplea números enteros.

Policleto, Doríforo

Policleto, Doríforo

Sin embargo, los grandes logros artísticos de la Grecia clásica tienen que ver con la utilización de proporciones inconmensurables, es decir aquellas que se expresan mediante números irracionales.

La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas. La sección áurea fue descubierta por los pitagóricos y luego fue empleada por artistas, filósofos y científicos tal que terminaron llamándola en el Renacimiento la proporción divina. La construcción geométrica de la sección áurea es sencilla:

Por una nueva interpretación de Platón, p. 289)

El segmento AM es la la sección áurea de AB, porque AM / AB = MB / AM. Cuando el segmento AB tiene valor 1 la sección áurea tiene el valor 0,618… Esto puede demostrarse del siguiente modo: si AB = 1 y la longitud de AM = x, entonces AM/AB = MB/AM se convierte en x/1 = (1 – x)/x.

Ahora podemos calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor, AB o x, entre el segmento menor, AM o 1-x. El resultado es el número áureo o número de oro, también llamado “fi” en honor al escultor griego Fidias (s. V a. C) y cuyo valor es 1,618…


Otro modo de llegar hasta “fi” consiste en suponer que el segmento AM es igual a 1 y AB es x. En ese caso la ecuación quedaría como sigue:
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es 1,618… Este tipo de rectángulo, como veremos más abajo, lo usó Fidias en la fachada del Partenón, pero también podemos verlo hoy en las cajetillas de tabaco, el DNI, las tarjetas de crédito, etc.

La sección áurea tiene una curiosa relación con la sucesión de Fibonacci, llamada así por haber sido descubierta por el matemático medieval pisano Leonardo Fibonacci (1170-1240). La sucesión de Fibonacci es una sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos precedentes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente. Resulta que el límite cuando n tiende a infinito del cociente n-1/n es igual a 0,6180339.

(Carl Boyer: Historia de las matemáticas, p. 329)

Y el límite cuando n tiende a infinito de n/n-1 es “fi”.

La sucesión de Fibonacci es la pauta que siguen determinados fenómenos de la naturaleza. Puede aprovecharse para describir el crecimiento de las hojas a lo largo del tallo de una planta o el número de pétalos de algunas flores: por ejemplo, el lirio tiene tres y las margaritas o girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55, o bien 89.

Además, la sucesión de Fibonacci permite construir la espiral de Durero, que es una forma geométrica omnipresente en la naturaleza. Alberto Durero no fue un matemático, sino un artista alemán del Renacimiento, especialmente conocido por sus grabados. La espiral de Durero es útil para investigar las conchas de algunos moluscos, los cuernos de algunos animales, las hileras de piñones en la piña, las semillas de una flor de girasol… Tiene como característica principal el que los puntos sobre los que se traza se corresponden con rectángulos cuyos lados son dos números de la sucesión de Fibonacci.

Espiral de Durero

Obsérvese por ejemplo la espiral de Durero en el nautilus o en la forma de una piña con piñones.

Nautilus, descendiente actual del ammonites (perteneciente al Jurásico y Cretácico) http://www.epsilones.com

También se halla presente la sección áurea en una figura de resonancias míticas y religiosas como es el pentágono estrellado. Si se observa la siguiente figura es evidente que las diagonales del pentágono que dan lugar a la estrella se cortan en la sección áurea. El pentágono, asimismo, es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.

Dodecaedro
Dodecaedro. (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 681)

Veamos ahora algunas aplicaciones de las proporciones inconmensurables, en especial de la sección áurea, en el arte griego. Contemplar estas magníficas esculturas y darse cuenta de la geometría implícita que las regula nos permitirá comprender intuitivamente la idea de que para los griegos el eidos, la Idea, la Forma, no es la realidad última, puesto que deriva precisamente de los números y las proporciones entre ellos.

Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.).

Hermes con Dioniso niño

Hermes con Dioniso niño

También la Venus de Milo respeta la sección áurea aunque la aplica un poco más libremente:

Venus de Milo

Venus de Milo. (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 303)

Otras obras de arte griegas que ilustran el concepto de la sección áurea son:

broncesriace1grande

El homo quadratus y rotundus, es decir, inserto en un cuadrado y un círculo, tal y como aparece en el famoso dibujo de Leonardo da Vinci, marca el canon o medida de la perfección humana. En este caso Leonardo se limita a resucitar la visión de la figura humana que existía ya en la antigua Grecia.

Homo quadratus Leonardo

La sección áurea se aplica al homo quadratus del siguiente modo: “Considerando la figura humana inscrita en el cuadrado, el ombligo corresponde a la sección áurea del lado y es el centro del círculo circunscrito al “homo rotundus”. Subdividiendo OM y ON en sección áurea, y haciendo luego lo mismo con los segmentos resultantes, se obtienen los puntos correspondientes a las rodillas, ingle, hombros y ojos.” (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 312)

Homo quadratus

También podemos ver muestras de la sección áurea en la arquitectura. La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos. En la figura se puede comprobar que AB/CD=”fi”. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=”fi” y CD/CA=”fi”

Partenón
Partenón

Partenón

Los ejemplos vistos hasta el momento certifican que Platón entendía que los primeros principios que sirven de fundamento a las Ideas o Formas eran principios matemáticos. Incluso una Idea ética como la Idea del Bien puede reducirse a la “justa medida”, el número de las Musas que aparece en la República. Platón cree que el Estado perfecto entrará en decadencia cuando los gobernantes olviden el Número que ha de regular los emparejamientos y los nacimientos dentro del Estado. La armonía y la unidad del Estado, por tanto la Idea del Bien, dependen en última instancia del respeto a la armonía matemática del Universo. También Aristóteles hablará de la virtud como del “justo medio” entre dos extremos.

De algún modo, Platón, al situar a las matemáticas como estructura última de lo real, puso en marcha la Física moderna. Es en su diálogo Timeo donde revela algunas de sus ideas al respecto. Atribuye a cada elemento de la naturaleza uno de los cinco sólidos regulares: tetraedro (fuego), octaedro (aire), icosaedro (agua), cubo (tierra) y dodecaedro (éter). “Al tetraedro, por ser el de menor volumen, le emparejó con el fuego por aquello de la sequedad; al icosaedro, por ser el de volumen más grande, con el agua por aquello de la humedad; al cubo, por ser el que se asienta más fácilmente, con la tierra; mientras que al octaedro, por girar al sujetarlo por vértices opuestos, con el aire.” ( http://www.epsilones.com )

En el s. XVII Kepler recuperará para la nueva astronomía todos los descubrimientos matemáticos pitagórico-platónicos. Según Kepler “La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno de ellos es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de un segmento en media y extrema razón -la sección áurea-. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo podríamos considerar como una preciosa joya.”

La diferencia principal entre la física de Kepler y la de sus antepasados griegos estriba en el empecinamiento de Kepler por ajustar las ideas matemáticas a la experiencia. Durante años intentará encajar las órbitas de los planetas dentro de los sólidos regulares de Platón. De este modo intentaba calcular las distancias respecto al Sol de las diferentes órbitas de los planetas, o lo que es lo mismo, escuchar la mística música de las esferas de la que hablaban los pitagóricos. A pesar del enorme esfuerzo que invirtió en ello, los datos no encajaban y no le quedó más remedio que renunciar a sus extrañas teorías por el bien de la Física.

El universo platónico-pitagórico de Kepler

El universo platónico-pitagórico de Kepler

Bibliografía

Libros

  1. Eco, U. (ed.): Historia de la belleza. Barcelona: Lumen, 2004.
  2. Reale, G.: Por una nueva interpretación de Platón. Barcelona: Herder, 2003.
  3. Grube, G. M. A.: El pensamiento de Platón. Madrid: Gredos, 1984.
  4. Boyer, C.: Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Universidad, 1996.

Webs

  1. Epsilones
  2. El fantástico mundo de las espirales
  3. El mundo de las espirales
  4. El número de oro
  5. La sucesión de Fibonacci
  6. Número áureo en wikipedia
  7. Wiki de Concepción Abraira
  8. Curiosidades matemáticas
  9. http://www.math.smith.edu/phyllo/
  10. Análisis matemático de la belleza del rostro
  11. The Guardian.

Películas

1. Darren Aranofsky: Pi, fe en el caos, 1998

2. Dimensión Dalí, la obsesión de un genio por la ciencia

3. Redes: La proporción aúrea.

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